2026新高考一卷数学试题

一、单项选择题（8 题，每题 5 分，共 40 分）

样本数据 $6,8,4,5,12$ 的中位数为 A. $5$　B. $6$　C. $8$　D. $9$
已知平面向量 $\vec{a},\vec{b}$ 不共线，且

\[ 2\vec{a}+y\vec{b}=x\vec{a}-3\vec{b}, \]

则 A. $x=2,\;y=-3$ B. $x=-2,\;y=3$ C. $x=2,\;y=3$ D. $x=-2,\;y=-3$

$$ 3. 已知集合

\[ A=\{\sin\frac{7\pi}{6},\cos\frac{5\pi}{3},\tan\frac{5\pi}{4}\},\quad B=\left\{-\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{1}{2},1\right\}, \]

则 $A\cap B=$ A. $\left{-\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{1}{2}\right}$ B. $\left{-\frac{\sqrt{3}}{2},1\right}$ C. $\left{-\frac{1}{2},1\right}$ D. $\left{-\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{1}{2},1\right}$

$$ 曲线 $y=5x+8\ln x$ 在点 $(1,5)$ 处的切线方程为 A. $y=3x+2$ B. $y=5x$ C. $y=8x-3$ D. $y=13x-8$ 5. 已知抛物线 $C_1:y^2=2p_1x\;(p_1>0)$ 和 $C_2:x^2=2p_2y\;(p_2>0)$ 均经过点 $(4,8)$，则 $C_1$ 的焦点与 $C_2$ 的焦点之间的距离为 A. $12$ B. $4\sqrt{5}$ C. $6$ D. $\dfrac{\sqrt{65}}{2}$ 6. 已知函数 \[ f(x)=\frac{x+2}{e^x+a} \] 的最大值为 $1$，则 $a=$ A. $\dfrac{1}{2}$　B. $1$　C. $\dfrac{3}{2}$　D. $2$ 7. 一百零八塔共 $108$ 座，排成 $12$ 行，第 $i$ 行塔数记为 $a_i$，已知 \[ a_1=1,\;a_2=a_3=3,\;a_4=a_5=5, \] $a_6,\dots,a_{12}$ 是首项为 $7$、公差为 $2$ 的等差数列。将 $a_1,\dots,a_{12}$ 分为 $6$ 组（每组 $2$ 个数），使各组之和构成公差为 $d\;(d>0)$ 的等差数列，则 $d=$ A. $2$　B. $4$　C. $6$　D. $8$ 8. 设 \[ U=\{(x_1,x_2,x_3)\mid x_i\in\{-2,-1,1,2\},\;i=1,2,3\}, \] 点 $P(1,1,1)$，样本空间 $\Omega=\complement_U{P}$。从 $\Omega$ 中随机取点 $A(x_1,x_2,x_3)$，令 $X(A)=x_1+x_2+x_3$，则 $E(X)=$ A. $-\dfrac{1}{21}$ B. $-\dfrac{1}{63}$ C. $0$ D. $\dfrac{1}{7}$ $$

二、多项选择题（3 题，每题 6 分，共 18 分）

设 $z=3+2i$，则 A. $\overline{z}=3-2i$ B. $|z|=5$ C. $z^2=5+12i$ D. $\dfrac{z+3}{z-i}\in\mathbb{R}$
空间中 $A,B$ 为定点，动点 $C$ 到直线 $AB$ 的距离为 $2$，动点 $D$ 到直线 $AB$ 的距离为 $1$，二面角 $C-AB-D$ 为 $60^\circ$，则 A. $\angle CAD\ge 60^\circ$ B. $CD\ge \sqrt{3}$ C. 当 $AB\perp CD$ 时，$CD\perp$ 平面 $ABD$ D. 当 $AB\perp$ 平面 $ACD$ 时，$AC\perp AD$
已知圆 \[ C_1:(x+1)^2+y^2=1,\quad C_2:(x-1)^2+y^2=1,\quad C_3:x^2+(y-\sqrt{3})^2=1, \] 直线 $l:y=kx+b$ 与三圆各有两个交点，弦长分别为 $s_1,s_2,s_3$，则 A. $k$ 可取任意实数 B. 满足 $s_1=s_2=s_3$ 的直线 $l$ 共 $3$ 条 C. 满足 $s_1+s_2+s_3=3$ 的直线 $l$ 多于 $3$ 条 D. 当 $b=0$ 时，$s_1+s_2+s_3$ 的最大值为 $\dfrac{2\sqrt{21}}{3}$

三、填空题（4 题，每题 5 分，共 20 分）

双曲线 \[5x^2-6y^2=1\] 的离心率为 $\underline{\qquad}$。
已知 \[f(x)=2\sin(ax+\theta)\]（$a\in\mathbb{Z}$，$0\le\theta<2\pi$）是偶函数，且在 $\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)$ 上单调递增，则 $\theta=\underline{\qquad}$，\[f\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)=\underline{\qquad}\]。
若 \[\log_2 a+\log_2 b=6\]，则 $a+b$ 的最小值为 $\underline{\qquad}$。
棱长为 $2$ 的正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中，$E$ 为 $AA_1$ 中点，$F$ 为 $BC$ 中点，则平面 $D_1EF$ 截正方体所得截面面积为 $\underline{\qquad}$。

四、解答题（6 题，共 72 分）

16.（10 分）在 $\triangle ABC$ 中，角 $A,B,C$ 的对边分别为 $a,b,c$，已知 \[ b\cos C+c\cos B=2a\cos A. \] (1) 求角 $A$； (2) 若 $b=2$，$c=3$，求 $BC$ 边上的中线长。

17.（12 分）某工厂生产一种产品，质量指标 $X\sim N(\mu,\sigma^2)$，规定 $X\in[18,22]$ 为合格品。现随机抽取 $100$ 件，得样本均值 $\overline{x}=20$，样本标准差 $s=1.5$。 (1) 估计合格品率； (2) 若从这批产品中随机抽取 $3$ 件，求至少 $2$ 件合格品的概率。（参考：\[P(|X-\mu|\le\sigma)\approx0.6827,\quad P(|X-\mu|\le2\sigma)\approx0.9545\]）

18.（12 分）如图，四棱锥 $P-ABCD$，底面 $ABCD$ 为矩形，$PA\perp$ 底面 $ABCD$，$PA=AB=2$，$AD=1$。 (1) 证明：$BD\perp$ 平面 $PAC$； (2) 求二面角 $P-BD-C$ 的余弦值。

19.（12 分）已知数列 ${a_n}$ 满足 $a_1=1$，\[a_{n+1}=2a_n+1\]。 (1) 证明：${a_n+1}$ 为等比数列； (2) 求数列 ${n(a_n+1)}$ 的前 $n$ 项和 $S_n$。

20.（12 分）已知椭圆 \[ C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\;(a>b>0) \] 的离心率为 $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，且过点 $\left(1,\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$。 (1) 求椭圆 $C$ 的方程； (2) 设直线 $l:y=kx+m$ 与椭圆 $C$ 交于 $A,B$ 两点，$O$ 为原点，若 $OA\perp OB$，证明：原点 $O$ 到直线 $l$ 的距离为定值，并求该定值。

21.（14 分）已知函数 \[f(x)=e^x-ax^2-x\]。 (1) 当 $a=1$ 时，讨论 $f(x)$ 的单调性； (2) 若 $f(x)\ge 1$ 对任意 $x\ge 0$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围。