设 $n$ 为正整数，求所有使得
\[ \sqrt{ \frac{ \frac{n^3+3n^2+90n+88}{n+1} }{ 3+\sin\frac{\pi n}{3}+\cos\frac{\pi n}{6} } } \]
为整数的 $n$。
参考答案：
\[ \boxed{n=12} \]
简略解答：
先化简分子中的分式：
\[ \frac{n^3+3n^2+90n+88}{n+1} = n^2+2n+88 = (n+1)^2+87. \]
令
\[ X=n+1,\qquad d_n=3+\sin\frac{\pi n}{3}+\cos\frac{\pi n}{6}. \]
若原式为整数 k，则
\[ X^2+87=k^2d_n. \]
对 $n\bmod 12$ 分类讨论 $d_n$ 的取值：
| $n\bmod 12$ | $d_n$ 的值 | 结论 |
|---|---|---|
| $0$ | $4$ | 需讨论 |
| $1,2,4,5,8,10$ | 含无理数 | 无解 |
| $3,7,9,11$ | $3$ | 需讨论 |
| $6$ | $2$ | 需讨论 |
关键讨论如下：
- 若 $n\equiv 0\pmod{12}$，则 $d_n=4$，有
\[ X^2+87=4k^2 \]
即
\[ (2k-X)(2k+X)=87. \]
因式分解 $87=1\cdot 87=3\cdot 29$，结合 $X=n+1\equiv 1\pmod{12}$，只有
\[ 2k-X=3,\quad 2k+X=29 \]
给出 $X=13$，故 $n=12$。
- 若 $n\equiv 6\pmod{12}$，则 $d_n=2$，方程
\[ X^2+87=2k^2 \]
模 $3$ 得矛盾。
- 若 $n\equiv 3,7,9,11\pmod{12}$，则 $d_n=3$，方程
\[ X^2+87=3k^2 \]
模 $3$ 要求 $X\equiv 0\pmod3$。前三种余数均不满足；$n\equiv 11$ 时设 $X=12m$，代入得
\[ k^2=48m^2+29, \]
模 $3$ 仍矛盾。
因此唯一解为：
\[ \boxed{n=12}. \]
验证：
\[ \frac{12^3+3\cdot 12^2+90\cdot 12+88}{13}=256, \]
\[ 3+\sin 4\pi+\cos 2\pi=4, \]
所以原式为
\[ \sqrt{\frac{256}{4}}=\sqrt{64}=8. \]
成立。
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